Lecture No6

例題

1. R で正規分布を描く

m = 0 、$\sigma$=0.5, 1.0, 2.0 の時を描く。dnorm(x,m,$\sigma$) という関数で正規分布を計算できる。

>curve(dnorm(x,0,0.5), from=-7, to=7, lty=1)
>curve(dnorm(x,0,1.0), add=T, lty=2)
>curve(dnorm(x,0,2.0), add=T, lty=3)

dnorm_plot.png

m = 10 、$\sigma$=0.5, 1.0, 2.0 の時を描く。

>curve(dnorm(x,10,0.5), from=0, to=20, lty=1)
>curve(dnorm(x,10,1.0), add=T, lty=2)
>curve(dnorm(x,10,2.0), add=T, lty=3)

dnorm_plot_m10.png

2. R で標準正規分布の下側確率を求める。

z=1.64 の時の標準正規分布の下側確率は pnorm(z) という関数で計算できる。

> pnorm(1.64)
[1] 0.9494974

z=1.64 の時の下側確率は 94.95% と分かる。次に 94.95% の時の z を求める時は qnorm() という関数で計算できる。例えば、上の例と同じく、下側確率が 0.9494974 の時の z は

> qnorm(0.9494974)
[1] 1.64

と求まる。

3. R で 1, 2, 3 $\sigma$ の範囲の確率を計算する。

下側確率を計算する pnorm() 関数を用いて、例えば、$\sigma$ = 1 の場合は、z=1 まで計算したものから z=-1 まで下側確率を計算したものを引いてあげれば、$m - \sigma$ から $m + \sigma$ までの確率が計算できる。

> pnorm(1.0)-pnorm(-1.0)
[1] 0.6826895

$\sigma$ = 2 の場合は、

> pnorm(2.0)-pnorm(-2.0)
[1] 0.9544997

と計算できる。

4. R で 2項分布 n=100, p=0.2 の分布と正規分布 N(20,$4^{2}$) の分布を重ねてプロットする。

>x<-0:50
>bi<-dbinom(x,100,0.2)
>plot(x,bi,type="h")
>curve(dnorm(x,20,4), add=T, col="red")

bidist_normdist_comp.png

5. R でポアソン分布 m=1000 の分布と正規分布 N(1000, sqrt(1000)) の分布を重ねてプロットする。

>x<-800:1200
>po<-dpois(x,1000)
>plot(x,po,type="h")
>curve(dnorm(x,1000,sqrt(1000)), add=T, col="red")

podist_normdist_comp.png

課題 1

ランダム変数 x が正規分布 N(m, $\sigma^{2}$) に従う時、任意の定数 a,b (a $\neq$ 0) について、ランダム変数 y = ax + b (1次変換) は正規分布 N(am+b, $a^{2}\sigma^{2}$) に従う事を示せ。

課題 2

Z が標準正規分布に従う時、次の確率を計算せよ。

(1) z $\geq$ 1.45
(2) z $\leq$ -1.96
(3) -0.56 $\leq$ z $\leq$ 2.16

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